研究旅行與遊記: 小展望

登山時，發覺身旁的路跡越來越不明顯時，路旁更多荊棘時，那就表示這可能不是條最正確的道路。

寄件者 20110819B 富士山下山

7/27 那晚再來看重看 Un 這式子，想要直接說明 Sn 收斂到 Un 似乎不太容易。

$U_n = \max_{0 \leq i <n} \{\frac{i(n-i)^2}{2} + \alpha i^3\}$

重新一看， Un 比 Sn 大一點。

$S_n \leq U_n \leq \alpha n^3$

此時腦中閃過這樣的念頭。，但若能找到 Ln 比 Sn 小一點。且說明 Ln 也會收斂到 alpha ，則不就說明了 Sn 其實就是 alpha 。

$\alpha\cdot(...) \leq L_n \leq S_n \leq U_n \leq \alpha n^3$

這個微積分中顯然至極的三明治定理，看來就是證明這個問題的最重要關鍵。

至於 Ln 的建造方式，就仿照 Un ，把原本的 $\alpha i^3$ 取代為 $\alpha (i-1)^3$ 。

$L_n = \max_{0 \leq i <n} \{\frac{i(n-i)^2}{2} + \alpha (i-1)^3\}$

接著若能再證明下式，便大功告成。

$\alpha (n-1)^3< U_n$

再以下的證明中，令

$u_n=\frac{U_n}{n^3},\quad p_3(x) = \frac{x(1-x)^2)}{2}, \quad p_2(x)=\frac{-x(1-x)}{2}$
$\begin{align*} &l_{n} - \alpha (1-\frac{1}{n})^3\\ \geq& p_3(\frac{\lfloor\beta n \rfloor}{n}) + \frac{1}{n}p_2(\frac{\lfloor \beta n \rfloor }{n}) + \alpha ((\frac{\lfloor \beta n \rfloor}{n} - \frac{1}{n})^3 - (1-\frac{1}{n})^3)\\ =& \underbrace{p_3(\frac{\lfloor\beta n \rfloor}{n}) - p_3(\beta)}_{\geq 0, \mbox{ as } n \geq 16}+ \alpha ((1-\beta^3) +(\frac{\lfloor \beta n \rfloor}{n} - \frac{1}{n})^3 - (1-\frac{1}{n})^3)+\frac{1}{n}p_2\underbrace{(\frac{\lfloor \beta n \rfloor }{n})}_{\geq p_2(\beta)} \\ \geq& \alpha\underbrace{((\frac{\lfloor \beta n \rfloor}{n}-\frac{1}{n})^3 - (\beta - \frac{2}{n})^3}_{\geq 0})+\frac{\alpha}{n}\underbrace{(3-6\beta^2 + \frac{p_2(\beta)}{\alpha}+ \frac{12\beta-3}{n}-\frac{7}{n^2})}_{\geq 0, \mbox{ as } n \geq 3} \end{align*}$

在 7/28 日早上與 Jesper 報告完這初步的想法後，才讓 Jesper 滿意起這個突破。當下便聊起這篇 paper 接下來可能的發展。一是直接以此結果投至 IPL 。另外，就是把內容再推至更一般的情況後再投期刊。

當時便決定就以這結果投至 IPL ，那晚便和 Jesper 及師母(日本人)、Richard 來自四國的人，在新宿一家沖繩料理的居酒屋聚餐。

寄件者 20110728 聚餐

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2011年9月18日星期日

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